Euklides: Stoicheia
(Die Elemente des Euklid)
Wird von der größeren von zwei ungleichen Größen mehr als die Hälfte weggenommen und vom Rest wiederum mehr als die Hälfte und wird dieses fortgesetzt, dann wird sich ein Rest ergeben, der kleiner als die kleinere der beiden Größen ist.
Wird von zwei ungleiche Größen immer wieder die kleinere von der größeren weggenommen, und bleibt kein Rest, der Teiler des ihm vorhergehenden ist, dann sind die beiden Größen inkommensurabel.
Zu zwei kommensurablen Größen die größte gemeinsame Maßeinheit finden.
Zu drei kommensurablen Größen die größte gemeinsame Maßeinheit finden.
Kommensurable Größen stehen in einem gleichen Verhältnis wie Zahlen.
Größen, die in einem gleichen Verhältnis stehen wie Zahlen, sind kommensurabel.
Inkommensurable Größen stehen nicht in einem Verhältnis zueinander wie Zahlen.
Stehen Größen nicht in einem Verhältnis zueinander wie Zahlen, sind sie inkommensurabel.
Sind Strecken der Länge nach kommensurabel, dann verhalten sich die Quadrate über ihnen wie Quadratzahlen, und verhalten sich Quadrate wie Quadratzahlen, dann sind ihre Seiten der Länge nach kommensurabel.
Sind Strecken der Länge nach inkommensurabel, dann stehen die Quadrate über ihnen zueinander nicht in einem Verhältnis wie Quadratzahlen, und stehen Quadrate zueinander nicht in einem Verhältnis wie Quadratzahlen, dann sind ihre Seiten der Länge nach inkommensurabel.
Stehen vier Größen in Proportion und sind die erste und die zweite kommensurabel, dann sind es auch die dritte und vierte und sind die erste und zweite Größe inkommensurabel, dann sind es auch die dritte und vierte.
Zu einer Strecke eine der Länge nach inkommensurable Strecke und eine andere, der Länge nach und im Quadrat inkommensurable, Strecke finden.
Die Größen, die zu einer Größe kommensurabel sind, sind kommensurabel.
Ist von zwei kommensurablen Größen eine zu einer dritten Größe inkommensurabel, dann ist auch die andere zu ihr inkommensurabel.
Zu zwei ungleichen Strecken das Quadrat finden um das das Quadrat über der einen größer ist als das Quadrat über der anderen.
Ist bei vier Strecken in Proportion das Quadrat über der ersten um ein Quadrat größer als das Quadrat über der zweiten, dessen Seite der Länge nach kommensurabel zur ersten Strecke ist, dann ist auch das Quadrat über der dritten um eine Quadrat größer als das Quadrat über der vierten, dessen Seite der Länge nach kommensurabel zur dritten Strecke ist.
Ist dagegen das Quadrat über der ersten um ein Quadrat größer als das Quadrat über der zweiten, dessen Seite der Länge nach inkommensurabel zur ersten Strecke ist, dann ist auch das Quadrat über der dritten Strecke um ein Quadrat größer als das Quadrat über der vierten, dessen Seite der Länge nach inkommensurabel zur dritten Strecke ist.
Werden zwei kommensurable Strecken zusammengesetzt, ist die ganze Strecke zu jeder von beiden kommensurabel, und ist eine aus zwei Strecken zusammengesetzte Strecke zu einer der beiden kommensurabel, dann sind die beiden Strecken kommensurabel.
Werden zwei inkommensurable Strecken zusammengesetzt, ist die ganze Strecke zu jeder von beiden inkommensurabel, und ist eine aus zwei Strecken zusammengesetzte Strecke zu einer der beiden inkommensurabel, dann sind die beiden Strecken inkommensurabel.
Wird von einem Rechteck das Quadrat über einer Seite abgeteilt, dann ist das übrige Rechteck gleich dem Rechteck aus den Abschnitten der geteilten Seite.
Wird bei zwei ungleichen Strecken durch Abteilen des Quadrats über einer Seite vom Rechteck über der größeren Strecke, das verringert um das abgeteilte Quadrat gleich einem Viertel des Quadrats über der kleineren ist, die größere Strecke in der Länge nach kommensurable Teile geteilt, dann ist das Quadrat über der größere Strecke um ein Quadrat, dessen Seite der Länge nach kommensurabel zu ihr ist, größer als das Quadrat über der kleineren.
Ist das Quadrat über der größeren von zwei ungleichen Strecken um ein Quadrat, dessen Seite kommensurabel zur größeren Strecke ist, größer als das Quadrat über der kleineren, dann wird durch Abteilen des Quadrats über einer Seite vom Rechteck über der größeren Strecke, das verringert um das abgeteilte Quadrat einem Viertel des Quadrats über der kleineren gleich ist, die geteilte Strecke in der Länge nach kommensurable Teile geteilt.
Wird bei zwei ungleichen Strecken durch Abteilen des Quadrats über einer Seite eines Rechtecks über der größeren Strecke, das verringert um das abgeteilte Quadrat gleich einem Viertel des Quadrats über der kleineren ist, die größere Strecke in zwei der Länge nach inkommensurable Teile geteilt, dann ist das Quadrat über der größere Strecke um ein Quadrat, dessen Seite der Länge nach inkommensurabel zu ihr ist, größer als das Quadrat über der kleineren.
Ist das Quadrat über der größeren von zwei ungleichen Strecken um ein Quadrat, dessen Seite inkommensurabel zur größeren Strecke ist, größer als das Quadrat über der kleineren dann wird durch Abteilen des Quadrats über einer Seite vom Rechteck über der größeren, das verringert um das abgeteilte Quadrat einem Viertel des Quadrats über der kleineren gleich ist, die geteilte Strecke in der Länge nach inkommensurable Teile geteilt.
Wie gezeigt, sind alle der Länge nach kommensurablen Strecken auch im Quadrat kommensurabel, aber nicht alle im Quadrat kommensurablen Strecken sind auch kommensurabel der Länge nach, sondern können der Länge nach kommensurabel oder inkommensurabel sein.
Deshalb sind rationale Strecken, der Länge nach und im Quadrat kommensurabel, und sind Strecken, die im Quadrat kommensurabel, der Länge nach aber inkommensurabel sind, quadriert rational.
Ein Rechteck aus den kommensurablen Seiten rationaler oder quadriert rationaler Länge ist rational.
Wird auf einer rationalen oder quadriert rationalen Strecke ein rationales Rechteck errichtet, dann sind seine Länge und Breite der Länge nach kommensurabel.
Ein Rechteck aus quadriert rationalen Strecken, die nur im Quadrat kommensurabel sind, ist irrational; die Seite des Quadrats, das ihm gleich ist, hat eine irrationale Länge, die biquadriert rational genannt wird.
Die erste von zwei Strecken verhält sich zur zweiten wie das Quadrat über der ersten zum Rechteck aus den beiden Strecken.
Wird auf einer rationalen Strecke ein Rechteck errichtet, das einem Quadrat über einer biquadriert rationalen Strecke gleich ist, dann sind seine Seiten der Länge nach inkommensurabel.
Ist eine biquadriert rationale Strecke zu einer anderen kommensurabel, dann ist sie biquadriert rational.
Entsprechend, wie für quadriert rationale Strecken [Lemma X.19.] erklärt, sind nicht alle Strecken, die im Biquadrat kommensurabel sind, auch im Quadrat kommensurabel, wie diese nicht alle der Länge nach kommensurabel sind, aber alle Strecken, die der Länge nach kommensurabel sind, da auch im Quadrat kommensurabel, sind auch im Biquadrat kommensurabel.
Ist eine Strecke der Länge nach kommensurabel zu einer irrationalen Strecke, dann ist sie auch im Quadrat und im Biquadrat zu ihr kommensurabel, ist sie aber nur im Quadrat zu ihr kommensurabel, dann auch im Biquadrat.
Ein Rechteck aus biquadriert rationalen Strecken, die der Länge nach kommensurabel sind, ist quadriert rational.
Ein Rechteck aus biquadriert rationalen Strecken, die nur im Quadrat kommensurabel sind, ist entweder rational oder quadriert rational.
Eine quadriert rationale Größe ist nicht um eine rationale Größe größer als eine andere quadriert rationale.
Zwei biquadriert rationale Strecken finden, die nur im Quadrat kommensurabel sind und ein rationales Rechteck ergeben.
Zwei biquadriert rationale Strecken finden, die nur im Quadrat kommensurabel sind und ein quadriert rationales Rechteck ergeben.
Zwei Quadratzahlen finden, deren Summe eine Quadratzahl ist.
Zwei Quadratzahlen finden, deren Summe keine Quadratzahl ist.
Zwei im Quadrat kommensurable Strecken finden, deren größere im Quadrat um ein Quadrat über einer zu ihr der Länge nach kommensurablen Strecke größer ist als das Quadrat über der kleineren.
Zwei im Quadrat kommensurable Strecken finden, deren größere im Quadrat um ein Quadrat über einer zu ihr der Länge nach inkommensurablen Strecke größer ist als das Quadrat über der kleineren.
Zwei biquadriert rationale Strecken finden, die nur im Quadrat kommensurabel sind und ein rationales Rechteck ergeben, so dass das Quadrat über der größeren um ein Quadrat, dessen Seite der Länge nach kommensurabel zur größeren ist, größer ist als das Quadrat über der kleineren.
Zwei biquadriert rationale Strecken finden, die nur im Quadrat kommensurabel sind und ein quadriert rationales Rechteck ergeben, so dass das Quadrat über der größeren um ein Quadrat, dessen Seite der Länge nach kommensurabel zur größeren ist, größer ist als das Quadrat über der kleineren.
Wird im Dreieck ABC mit rechtem Winkel in A die Senkrechte AD errichtet,
dann, sage ich,
ist das Rechteck aus CB mit BD gleich dem Quadrat über BA,
ist das Rechteck aus BC mit CD gleich dem Quadrat über CA,
ist das Rechteck aus BD mit DC gleich dem Quadrat über AD und
ist das Rechteck aus BC mit AD gleich dem Rechteck aus BA mit AC.
Zwei im Quadrat inkommensurable Strecken finden, deren Summe der Quadrate rational ist und die ein quadriert rationales Rechteck ergeben.
Zwei im Quadrat inkommensurable Strecken finden, deren Summe der Quadrate quadriert rational ist und die ein rationales Rechteck ergeben.
Zwei im Quadrat inkommensurable Strecken finden, deren Summe der Quadrate quadriert rational ist und die ein quadriert rationales Rechteck ergeben, das zur Summe der Quadrate inkommensurabel ist.