Euklides: Stoicheia
(Die Elemente des Euklid)
Wird von einer rationalen oder quadriert rationalen Strecke eine Strecke weggenommen, die zu ihr nur im Quadrat kommensurabel ist, dann ist die restliche Strecke irrational und wird apotomisch genannt.
Wird von einer biquadriert rationalen Strecke eine Strecke weggenommen, die zu ihr im Quadrat kommensurabel ist und mit ihr ein rationales Rechteck ergibt, dann ist die restliche Strecke irrational und wird apotomisch primär irrational genannt.
Wird von einer biquadriert rationalen Strecke eine Strecke weggenommen, die zu ihr im Quadrat kommensurabel ist und mit ihr ein quadriert rationales Rechteck ergibt, dann ist die restliche Strecke irrational und wird apotomisch sekundär irrational genannt.
Wird von einer Strecke eine Strecke weggenommen, die zu ihr im Quadrat inkommensurabel ist, wobei die Summe der Quadrate über den beiden Strecken rational ist und die beiden Strecken ein quadriert rationales Rechteck ergeben, dann ist die restliche Strecke irrational und wird konjugiert apotomisch genannt.
Wird von einer Strecke eine Strecke weggenommen, die zu ihr im Quadrat inkommensurabel ist, wobei die Summe der Quadrate über den beiden Strecken quadriert rational ist und die beiden Strecken ein rationales Rechteck ergeben, dann ist die restliche Strecke irrational und wird konjugiert apotomisch primär irrational genannt.
Wird von einer Strecke eine Strecke weggenommen, die zu ihr im Quadrat inkommensurabel ist, wobei die Summe der Quadrate über den beiden Strecken quadriert rational ist und die beiden Strecken ein quadriert rationales Rechteck ergeben, das zur Summe der Quadrate inkommensurabel ist, dann ist die restliche Strecke irrational und wird konjugiert apotomisch sekundär irrational genannt.
Zu jeder apotomischen Strecke gibt es nur eine ergänzende Strecke, die zur ganzen Strecke im Quadrat kommensurabel ist.
Zu jeder apotomisch primär irrationalen Strecke gibt es nur eine ergänzende Strecke, die zur ganzen Strecke im Quadrat kommensurabel ist und mit ihr ein rationales Rechteck ergibt.
Zu jeder apotomisch sekundär irrationalen Strecke gibt es nur eine ergänzende Strecke, die zur ganzen Strecke im Quadrat kommensurabel ist und mit ihr ein quadriert rationales Rechteck ergibt.
Zu jeder konjugiert apotomischen Strecke gibt es nur eine ergänzende Strecke, die zur ganzen Strecke im Quadrat inkommensurabel ist, wobei die Summe ihrer Quadrate rational und das sich mit ihr ergebende Rechteck quadriert rational ist.
Zu jeder konjugiert apotomisch primär irrationalen Strecke gibt es nur eine ergänzende Strecke, die zur ganzen Strecke im Quadrat inkommensurabel ist, wobei die Summe ihrer Quadrate quadriert rational und das sich mit ihr ergebende Rechteck rational ist.
Zu jeder konjugiert apotomisch sekundär irrationalen Strecke gibt es nur eine ergänzende Strecke, die zur ganzen Strecke im Quadrat inkommensurabel ist, wobei die Summe der Quadrate über ihnen quadriert rational ist und sie mit ihr ein quadriert rationales Rechteck ergibt, das zur Summe der Quadrate inkommensurabel ist.
Unterteilung der quadriert apotomischen Strecken.
Eine quadriert apotomische Strecke erster Art finden.
Eine quadriert apotomische Strecke zweiter Art finden.
Eine quadriert apotomische Strecke dritter Art finden.
Eine quadriert apotomische Strecke vierter Art finden.
Eine quadriert apotomische Strecke fünfter Art finden.
Eine quadriert apotomische Strecke sechster Art finden.
Das von einer rationalen Strecke und einer quadriert apotomischen Strecke erster Art eingeschlossene Rechteck ist gleich dem Quadrat über einer apotomischen Strecke.
Das von einer rationalen Strecke und einer quadriert apotomischen Strecke zweiter Art eingeschlossene Rechteck ist gleich dem Quadrat über einer apotomisch primär irrationalen Strecke.
Das von einer rationalen Strecke und einer quadriert apotomischen Strecke dritter Art eingeschlossene Rechteck ist gleich dem Quadrat über einer apotomisch sekundär irrationalen Strecke.
Das von einer rationalen Strecke und einer quadriert apotomischen Strecke vierter Art eingeschlossene Rechteck ist gleich dem Quadrat über einer konjugiert apotomischen Strecke.
Das von einer rationalen Strecke und einer quadriert apotomischen Strecke fünfter Art eingeschlossene Rechteck ist gleich dem Quadrat über einer konjugiert apotomisch primär irrationalen Strecke.
Das von einer rationalen Strecke und einer quadriert apotomischen Strecke sechster Art eingeschlossene Rechteck ist gleich dem Quadrat über einer konjugiert apotomisch sekundär irrationalen Strecke.
Wird auf einer rationalen Strecke ein Rechteck errichtet, das dem Quadrat über einer apotomischen Strecke gleich ist, ist seine andere Seite eine quadriert apotomische Strecke erster Art.
Wird auf einer rationalen Strecke ein Rechteck errichtet, das dem Quadrat über einer apotomisch primär irrationalen Strecke gleich ist, ist seine andere Seite eine quadriert apotomische Strecke zweiter Art.
Wird auf einer rationalen Strecke ein Rechteck errichtet, das dem Quadrat über einer apotomisch sekundär irrationalen Strecke gleich ist, ist seine andere Seite eine quadriert apotomische Strecke dritter Art.
Wird auf einer rationalen Strecke ein Rechteck errichtet, das dem Quadrat über einer konjugiert apotomischen Strecke gleich ist, ist seine andere Seite eine quadriert apotomische Strecke vierter Art.
Wird auf einer rationalen Strecke ein Rechteck errichtet, das dem Quadrat über einer konjugiert apotomisch primär irrationalen Strecke gleich ist, ist seine andere Seite eine quadriert apotomische Strecke fünfter Art.
Wird auf einer rationalen Strecke ein Rechteck errichtet, das dem Quadrat über einer konjugiert apotomisch sekundär irrationalen Strecke gleich ist, ist seine andere Seite eine quadriert apotomische Strecke sechster Art.
Eine Strecke, die zu einer apotomischen Strecke der Länge nach kommensurabel ist, ist eine quadriert apotomische Strecke gleicher Art.
Eine Strecke, die entweder zu einer apotomisch primär oder zu einer apotomisch sekundär irrationalen Strecke kommensurabel ist, ist ebenfalls entweder apotomisch primär oder apotomisch sekundär irrational.
Eine Strecke, die zu einer konjugiert apotomischen Strecke kommensurabel ist, ist konjugiert apotomisch.
Eine Strecke, die zu einer konjugiert apotomisch primär irrationalen Strecke kommensurabel ist, ist konjugiert apotomisch primär irrational.
Eine Strecke, die zu einer konjugiert apotomisch sekundär irrationalen Strecke kommensurabel ist, ist konjugiert apotomisch sekundär irrational.
Wird von einem rationalen Rechteck ein quadriert rationales Rechteck weggenommen, ist das restliche Rechteck irrational und gleich dem Quadrat entweder über einer apotomischen oder über einer konjugiert apotomischen Strecke.
Wird von einem quadriert rationalen Rechteck ein rationales Rechteck weggenommen, dann ist das restliche Rechteck irrational und gleich dem Quadrat entweder über einer apotomisch primär irrationalen oder über einer konjugiert apotomisch primär irrationalen Strecke.
Wird von einem quadriert rationalen Rechteck ein dazu inkommensurables, quadriert rationales Rechteck weggenommen, dann ist das restliche Rechteck irrational und gleich dem Quadrat entweder über einer apotomisch sekundär irrationalen oder über einer konjugiert apotomisch sekundär irrationalen Strecke.
Eine apotomische Strecke ist keiner binomischen Strecke gleich.
Ist die eine Seite eines rationales Rechtecks eine binomische Strecke, dann ist die andere Seite eine apotomische Strecke, die als quadriert apotomische Strecke von der gleichen Art ist wie die andere als quadriert binomische Strecke, wobei ihre Teilstrecken zueinander kommensurabel sind und im gleichen Verhältnis stehen.
Ist die eine Seite eines rationales Rechtecks eine apotomische Strecke, dann ist die andere Seite eine binomische Strecke, die als quadriert binomische Strecke von der gleichen Art ist wie die andere als quadriert apotomische Strecke, wobei ihre Teilstrecken zueinander kommensurabel sind und im gleichen Verhältnis stehen.
Ein Rechteck aus einer apotomischen Strecke mit einer binomischen Strecke, deren eine Teilstrecken kommensurabel zu den Teilstrecken der anderen sind und in gleichen Verhältnissen stehen, ist rational.
Von einer quadriert rationalen Strecke ausgehend können unbegrenzt viele irrationale Strecken gebildet werden, die ihr und einander nicht gleichen.
Die Diagonale eines Quadrats ist zur Seite der Länge nach inkommensurabel.