Euklides: Stoicheia
(Die Elemente des Euklid)
Wird von zwei Seiten, die ein Rechteck ergeben, eine in mehrere Teile aufgeteilt, dann ergeben die ganzen Seiten das gleiche Rechteck wie zusammen die Rechtecke aus den Teilen der geteilten Seite mit der anderen Seite ergeben.
Die Rechtecke, die die Teile einer Seite mit dieser Seite ergeben, sind zusammen dem Quadrat über der Seite gleich.
Das Rechteck, das eine ganze zweigeteilte Seite mit einem Teil ergibt, ist gleich dem Rechteck, das die Teile der Seite ergeben, zusammen mit dem Quadrat über dieser Seite.
Wird eine Strecke in zwei geteilt, dann ist das Quadrat über der ganzen Strecke gleich den Quadraten über den Teilen und dem doppelten Rechteck, das die Teile ergeben, zusammen.
Ist eine Strecke an einem Punkt in zwei gleiche Teile geteilt und in einem anderen Punkt in zwei ungleiche Teile, dann sind das Rechteck, das die ungleichen Teile ergeben, und das Quadrat über der Strecke zwischen den teilenden Punkten zusammen gleich dem Quadrat über der halben Strecke.
Wird eine Strecke verlängert, dann ist das Rechteck, das sich aus der Verlängerung mit der ganzen verlängerten Strecke ergibt, zusammen mit dem Quadrat über der halben Strecke gleich dem Quadrat, das über der halben Strecke zusammen mit der Verlängerung errichtet ist.
Wird eine Strecke geteilt, dann sind die Quadrate über der Strecke und über einem Teil zusammen gleich dem doppelten Rechteck aus der Strecke und dem einen Teil und dem Quadrat über dem anderen Teil zusammen.
Wird eine Strecke geteilt und um eines der Teile verlängert, dann sind vier der Rechtecke, die die Strecke mit diesem Teil ergibt, zusammen mit dem Quadrat über dem anderen Teil gleich dem Quadrat über der verlängerten Strecke.
Ist eine Strecke an einem Punkt in zwei gleiche Teile geteilt und in einem anderen Punkt in zwei ungleiche Teile, dann sind die Quadrate über den ungleichen Teilen zusammen gleich dem Doppelten aus dem Quadrat über der halben Strecke und dem Quadrat über der Strecke zwischen den teilenden Punkten zusammen.
Wird eine Strecke verlängert, dann sind die Quadrate über der verlängerten Strecke und über der Verlängerung zusammen gleich dem Doppelten aus den Quadraten über der halben Strecke und über der halben Strecke mit der Verlängerung zusammen.
Eine Strecke so zu teilen, dass das Rechteck, das die ganze Strecke mit einem Teil ergibt, gleich dem Quadrat über dem andern Teil ist.
Im stumpfwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Seite, die dem stumpfen Winkel gegenüber liegt, größer als die Quadrate über den beiden anderen Seiten zusammen, und zwar um das doppelte Rechteck, das eine dieser Seiten mit ihrer Verlängerung bis zur Senkrechten auf ihr ergibt, die den Eckpunkt des Dreiecks trifft.
Im spitzwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Seite, die dem spitzen Winkel gegenüber liegt, kleiner als die Quadrate über den beiden anderen Seiten zusammen und zwar um das doppelte Rechteck, das eine dieser Seiten mit der Strecke auf ihr ergibt, die bis zu der Senkrechten verkürzt ist, die den Eckpunkt des Dreiecks trifft.
Das einem gegebenen Polygon gleiche Quadrat errichten.