Euklides: Stoicheia
(Die Elemente des Euklid)
Den Mittelpunkt eines gegebenen Kreises auffinden.
Punkte auf einer geraden Strecke zwischen zwei Punkten auf einer Kreislinie liegen innerhalb des Kreises.
Teilt eine durch den Mittelpunkt gehende Gerade den Abschnitt einer schneidenden Geraden, die nicht durch den Mittelpunkt geht, zwischen den Schnittpunkten in zwei gleiche Teile, dann bildet sie mit ihr rechte Winkel und bildet sie rechte Winkel, dann teilt sie den Abschnitt einer schneidenden Geraden zwischen den Schnittpunkten, nämlich die Sehne, in zwei gleiche Teile.
Schneiden sich zwei Sehnen, die nicht durch den Mittelpunkt gehen, sind sie dadurch nicht beide in zwei gleiche Teile geteilt.
Zwei Kreise, die sich schneiden, haben nicht denselben Mittelpunkt.
Zwei Kreise, die sich berühren, haben nicht denselben Mittelpunkt.
Unter den Strecken, die von einem, vom Mittelpunkt verschiedenen, Punkt auf dem Durchmesser zu Punkten auf der Kreislinie gezogen sind, ist die Strecke von diesem Punkt durch den Mittelpunkt die größte und der Rest des Durchmessers die kleinste. Unter den anderen Strecken ist diejenige, die der großen Strecke auf dem Durchmesser näher ist, größer als die entferntere und nur jeweils eine Strecke ist unter ihnen, die kürzer als die größte sind, einer anderen gleich.
Unter den Geraden, die von einem Punkt außerhalb eines Kreises durch den Kreis gelegt werden, ist die Strecke, die die Kreislinie vom Punkt aus von innerhalb des Kreises trifft, auf der am größten, die durch den Mittelpunkt geht, unter den andern ist die Strecke auf der ihr näheren größer und auf der entfernteren kleiner. Die Strecke, die die Kreislinie vom Punkt aus von außen trifft, aber ist auf der Geraden durch den Mittelpunkt am kleinsten und unter den andern ist diese Strecke auf der ihr näheren kleiner und die auf der entfernteren größer, und nur jeweils eine Strecke ist unter ihnen, die größer als die kleinste sind, einer anderen gleich.
Gehen von einem Punkt innerhalb eines Kreises mehr als zwei gleiche Strecken zu Punkten auf der Kreislinie, dann ist dieser Punkt der Mittelpunkt.
Ein Kreis schneidet einen anderen in nicht mehr als zwei Punkten.
Berühren sich zwei Kreise von innen, dann geht die Gerade durch die beiden Mittelpunkte durch den Berührpunkt.
Berühren sich zwei Kreise von außen, dann geht die Gerade durch die beiden Mittelpunkte durch den Berührpunkt.
Kreise berühren sich in nicht mehr als einem Punkt, ob von innen oder von außen.
Gleiche Sehnen sind vom Mittelpunkt gleich weit entfernt und vom Mittelpunkt gleich weit entfernte Sehnen sind gleich.
Unter den Strecken im Kreis ist der Durchmesser die größte und unter den Sehnen ist diejenige, die dem Mittelpunkt näher ist, größer als die entferntere.
Die am Endpunkt eines Durchmessers errichtete Senkrechte fällt außerhalb des Kreises; es kann zwischen ihr und dem Kreis keine Gerade außerhalb des Kreises gezogen werden; der Winkel zwischen Kreislinie und Durchmesser ist größer und der Winkel zwischen Kreislinie und Senkrechter kleiner als jeder spitze Winkel.
An einen Kreis von einem gegebenen Punkt aus die Tangente anlegen.
Die durch den Berührpunkt einer Tangenten und den Mittelpunkt gelegte Gerade steht senkrecht auf der Tangenten.
Auf der Senkrechten, die am Berührpunkt einer Tangenten auf ihr errichtet ist, liegt der Mittelpunkt des Kreises.
Der Winkel im Mittelpunkt über einem Kreisbogen ist das Doppelte des Winkels in einem Punkt auf der Kreislinie.
Die Winkel des gleichen Kreisabschnitts sind gleich.
Im Viereck aus Sehnen sind gegenüber liegende Winkel gleich zwei rechten Winkeln.
Über derselben Strecke können nicht ähnliche, aber ungleiche Kreisbögen errichtet sein.
Ähnliche Kreisabschnitte mit gleichen Grundseiten sind gleich.
Einen Kreisabschnitt zu dem Kreis ergänzen, von dem er Abschnitt ist.
In gleichen Kreisen stehen gleiche Winkel am Mittelpunkt und gleiche Winkel an Punkten der Kreislinie auf gleichen Kreisbögen.
In gleichen Kreisen sind die auf gleichen Kreisbögen stehenden Winkel gleich, die im Mittelpunkt und die an Punkten der Kreislinie.
In gleichen Kreisen schneiden gleiche Sehnen gleiche Kreisbögen ab, und es ist der größere dem größeren und der kleinere dem kleineren gleich.
Die Strecken zwischen den Endpunkten gleicher Kreisbögen sind in gleichen Kreisen gleich.
Einen Kreisbogen in zwei gleiche Teile teilen.
Der Winkel des Halbkreises ist ein rechter Winkel, der Winkel eines größeren Kreisabschnitts ist kleiner, der eines kleineren Kreisabschnitts größer als ein rechter Winkel, der Winkel des Kreisbogens mit der Grundseite ist im größeren Kreisabschnitt größer und im kleineren Kreisabschnitt kleiner als ein rechter Winkel.
Schneidet eine Gerade einen Kreis, dann ist ihr Winkel mit der Tangente im Schnittpunkt gleich dem der schneidenden Strecke gegenüber liegenden Winkel im Sehnendreieck, das über der schneidenden Strecke gegenüber errichtet ist.
Auf einer Strecke einen Kreisabschnitt mit gegebenem Winkel errichten.
Von einem Kreis einen Kreisabschnitt mit gegebenem Winkel schneiden.
Das Rechteck aus den Abschnitten einer Geraden, die im Kreis von einer anderen geschnitten wird, ist gleich dem aus den Abschnitten der anderen Geraden.
Das Quadrat über dem Abschnitt auf der Tangente, die von einer Geraden außerhalb des Kreises geschnitten wird, ist gleich dem Rechteck aus dem äußeren Abschnitt auf der schneidenden Geraden mit dem aus dem inneren und äußeren zusammengesetzten.
Wird eine schneidende Gerade, nämlich eine Sekante, außerhalb des Kreises von einer Geraden geschnitten, die einen Punkt auf der Kreislinie trifft und ist das Quadrat über ihrem Abschnitt gleich dem Rechteck aus dem äußeren Abschnitt der Sekante mit dem aus dem inneren und äußeren zusammengesetzten Abschnitt der Sekante, dann ist diese Gerade eine Tangente.