Euklides: Stoicheia
(Die Elemente des Euklid)
Ist jede von mehreren Größen das gleiche Vielfache einer von gleich vielen anderen Größen, dann sind die einen zusammen dasselbe Vielfache von den anderen zusammen.
Ist eine erste Größe das gleiche Vielfache einer zweiten wie eine dritte das Vielfache einer vierten, sowie eine fünfte das Vielfache der zweiten wie eine sechste das Vielfache der vierten, dann sind die erste und fünfte Größe zusammen das gleiche Vielfache der zweiten wie die dritte und sechste zusammen das Vielfache der vierten.
Ist eine erste Größe das gleiche Vielfache einer zweiten wie eine dritte das Vielfache einer vierten, sowie eine fünfte das gleiche Vielfache der ersten wie eine sechste das Vielfache der dritten, so ist auch die fünfte Größe das gleiche Vielfache der zweiten wie die sechste Vielfache der vierten.
Steht eine Größe im gleichen Verhältnis zur zweiten wie eine dritte zur vierten, dann stehen die erste und dritte Größe auch dann in einem gleichen Verhältnis zu der zweiten und vierten Größe, wenn die einen oder die anderen beiden vervielfacht werden.
Ist eine Größe das gleiche Vielfache von einer anderen Größe, wie das von der einen Weggenommene das Vielfache des von der anderen Weggenommenen ist, dann ist auch der Rest der einen das gleiche Vielfache vom Rest der anderen.
Sind zwei Größen gleiche Vielfache zweier anderer, deren gleiche Vielfache von ihnen weggenommen werden, dann verbleiben Reste, die gleich oder gleiche Vielfache der anderen Größen sind.
Gleiche Größen stehen zu derselben Größe im gleichen Verhältnis und dieselbe Größe zu gleichen Größen.
Von ungleichen Größen steht die größere zu einer anderen Größe in einem größeren Verhältnis als die kleinere und eine Größe steht zu kleineren in einem größeren Verhältnis als zu größeren.
Sind Verhältnisse, in denen Größen zu derselben Größe stehen, gleich, dann sind die Größen gleich, ebenso wie wenn sie in gleichen Verhältnisse derselben Größe zu ihnen stehen.
Ist das Verhältnis zu derselben Größe größer als andere Verhältnisse, dann ist die Größe, die in diesem Verhältnis steht, größer und ist das Verhältnis derselben Größe zu einer Größe größer als andere Verhältnisse, dann ist letztere Größe kleiner.
Verhältnisse sind gleich, die demselben Verhältnis gleich sind.
Stehen mehrere Größen in gleicher Proportion, dann verhalten sich die Vorderglieder zusammen zu den Hintergliedern zusammen wie eines der Vorderglieder zum Hinterglied.
Steht eine Größe zu einer anderen im gleichen Verhältnis wie eine dritte zu einer vierten, hat aber die dritte zur vierten Größe eine größeres Verhältnis wie eine fünfte zu einer sechsten, dann ist das Verhältnis der ersten zur zweiten größer als das Verhältnis der fünften zur sechsten.
Steht eine Größe zu einer anderen im gleichen Verhältnis wie eine dritte zu einer vierten und ist die erste größer als die dritte, dann ist auch zweite größer als die vierte, und wenn gleich gleich, und wenn kleiner kleiner.
Sind Größen gleiche Vielfache ihrer Teile, dann stehen die Teile im gleichen Verhältnis wie die ganzen Größen.
Stehen vier Größen in Proportion, dann stehen sie auch in umgeordneter Proportion.
Stehen Größen im gleichen Verhältnissen, dann sind auch die verkleinerten Verhältnisse unter sich gleich.
Stehen Größen in gleichen Verhältnissen, dann sind auch die vergrößerten Verhältnisse unter sich gleich.
Stehen Größen im gleichen Verhältnis, wie von ihnen abgeteilte Größen, dann stehen auch die Reste im gleichen Verhältnis.
Stehen drei Größen wie ebenso viele andere in paarweise gleichen Verhältnissen und ist die erste größer als die dritte, dann ist auch die vierte größer als die sechste, und wenn gleich gleich, und wenn kleiner kleiner.
Stehen drei Größen mit ebenso vielen anderen in kreuzweiser Proportion und ist die erste größer als die dritte, dann ist auch die vierte größer als die sechste, und wenn gleich gleich, und wenn kleiner kleiner.
Stehen mehrere Größen mit gleich vielen anderen paarweise in gleichen Verhältnissen, dann dann stehen die ersten und letzten Glieder in Proportion aufgrund Gleichheit.
Stehen drei Größen mit gleich vielen anderen in kreuzweiser Proportion, dann stehen die ersten und letzten Glieder in Proportion aufgrund Gleichheit.
Steht eine Größe zu einer anderen im gleichen Verhältnis wie eine dritte zu einer vierten und steht eine fünfte zur zweiten wie eine sechste zur vierten, dann stehen die erste und fünfte zusammen im gleichen Verhältnis zur zweiten wie die dritte und sechste zusammen zur vierten.
Von vier Größen in Proportion sind die größte und die kleinste zusammen größer als die beiden übrigen.