Euklides: Stoicheia
(Die Elemente des Euklid)
Das Produkt ähnlicher Produkte ist eine Quadratzahl.
Zwei Zahlen, deren Produkt eine Quadratzahl ist, sind ähnliche Produkte.
Eine Kubikzahl mit sich multipliziert ergibt eine Kubikzahl.
Das Produkt zweier Kubikzahlen ist eine Kubikzahl.
Eine Zahl, die mit einer Kubikzahl multipliziert eine Kubikzahl ergibt, ist eine Kubikzahl.
Eine Zahl, die mit sich multipliziert eine Kubikzahl ergibt, ist eine Kubikzahl.
Die Multiplikation eines Produktes mit einer beliebigen Zahl ergibt stets ein Produkt aus drei Faktoren.
In einer fortlaufend gleichen Proportion, deren erstes Glied die Eins ist, ist das dritte Glied und jedes darauf mit einem Glied Abstand folgende eine Quadratzahl, ist das vierte Glied und jedes darauf mit zwei Gliedern Abstand folgende eine Kubikzahl und ist das siebte Glied und jedes darauf mit fünf Gliedern Abstand folgende Quadrat- und Kubikzahl zugleich.
Ist in einer fortlaufend gleichen Proportion, deren erstes Glied die Eins ist, das auf die Eins folgende Glied eine Quadratzahl, dann sind alle folgenden Glieder Quadratzahlen, ist es eine Kubikzahl, dann sind alle folgenden Glieder Kubikzahlen.
Ist in einer fortlaufend gleichen Proportion, deren erstes Glied die Eins ist, das auf die Eins folgende Glied keine Quadratzahl, dann sind keine anderen Glieder Quadratzahlen, als das dritte und die darauf mit einem Glied Abstand folgenden, und ist das auf die Eins folgende Glied keine Kubikzahl, dann sind keine anderen Glieder Kubikzahlen, als das vierte und die darauf mit zwei Gliedern Abstand folgenden.
In einer fortlaufend gleichen Proportion, deren erstes Glied die Eins ist, ist jedes größere Glied so oft Vielfache eines kleineren Glieds wie eines der kleineren Glieder angibt.
Eine Primzahl, die Teiler des letzten Glieds einer fortlaufend gleichen Proportion ist, deren erstes Glied die Eins ist, ist auch Teiler des Glieds, das auf die Eins folgt.
Ist in einer fortlaufend gleichen Proportion, deren erstes Glied die Eins ist, das auf die Eins folgende Glied eine Primzahl, dann hat das letzte Glied keine anderen Teiler als die Zahlen, die in der Proportion vor ihm stehen.
Das kleinste Produkt aus Primzahlen hat keine anderen Teiler als diese Primzahlen.
Von drei Zahlen einer fortlaufend gleichen Proportion in kleinstmöglichen Zahlen, ist die Summe zweier beliebiger Glieder teilerfremd zum dritten Glied.
Sind zwei Zahlen teilerfremd, gibt es keine Zahl, die zur zweiten Zahl im gleichen Verhältnis steht wie die erste zur zweiten.
Sind das erste und das letzte Glied einer fortlaufend gleichen Proportion teilerfremd, gibt es keine Zahl, die zum letzten Glied im gleichen Verhältnis steht wie das erste zum zweiten.
Zu zwei Zahlen, wenn möglich, die dritte Zahl zur fortlaufend gleichen Proportion finden.
Zu drei Zahlen, wenn möglich, die vierte Zahl finden, zu der sich die dritte verhält wie die erste zur zweiten.
Die Anzahl der Primzahlen ist größer als jede Zahl, die vorgelegt wird.
Die Summe gerader Zahlen ist gerade.
Die Summe einer geraden Anzahl ungerader Zahlen ist gerade.
Die Summe einer ungeraden Anzahl ungerader Zahlen ist ungerade.
Wird von einer geraden Zahl eine gerade Zahl subtrahiert, ist der Rest gerade.
Wird von einer geraden Zahl eine ungerade Zahl subtrahiert, ist der Rest ungerade.
Wird von einer ungeraden Zahl eine ungerade Zahl subtrahiert, ist der Rest gerade.
Wird von einer ungeraden Zahl eine gerade Zahl subtrahiert, ist der Rest ungerade.
Das Produkt einer ungeraden Zahl mit einer geraden ist gerade.
Das Produkt ungerader Zahlen ist ungerade.
Ist eine gerade Zahl Vielfache einer ungeraden Zahl, dann ist auch ihre Hälfte Vielfache der ungeraden Zahl.
Ist eine ungerade Zahl teilerfremd zu einer andern, dann ist sie auch teilerfremd zu deren Doppeltem.
Keine, von der Zahl Zwei ausgehend, durch fortgesetzte Verdopplung sich ergebende Zahl ist gerademal ungerade.
Keine Zahl, deren Hälfte ungerade ist, ist gerademal gerade.
Ergibt sich eine gerade Zahl, deren Hälfte gerade ist, nicht durch fortgesetzte Verdopplung von der Zwei ausgehend, dann ist sie gerademal gerade und gerademal ungerade.
Wird vom zweiten und vom letzten Glied einer fortlaufend gleichen Proportion eine Zahl gleich dem ersten Glied subtrahiert, dann verhält sich der Rest des zweiten zum ersten Glied wie der Rest des letzten Glieds zur Summe aus den übrigen Gliedern.
Ist die Summe der Zahlen, die sich, beginnend mit der Eins, durch fortgesetzte Verdopplung ergeben, eine Primzahl, dann ist das Produkt aus dieser Summe mit der letzten dieser Zahlen eine vollkommene Zahl.